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im电竞app官网:要想学好微积分,吃透“极限”观点是须要条件
本文摘要:数学分析是海内数学专业本科阶段的专业基础课,其中的内容包罗着微积分;而其他理工科的学生会学习包罗微积分内容的高等数学,同样作为基础课程。无论是数学分析,还是高等数学,最重要和基础的一个观点就是极限。要想学好微积分,透彻地明白极限的观点和思维方法。 首先,简朴说一下极限的生长配景。萌芽在17世纪之前,数学生长属于常量数学时期或者初等数学阶段,几何与代数的生长相对独立,这段时间生长的数学被大量用于初等、中等教育。

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数学分析是海内数学专业本科阶段的专业基础课,其中的内容包罗着微积分;而其他理工科的学生会学习包罗微积分内容的高等数学,同样作为基础课程。无论是数学分析,还是高等数学,最重要和基础的一个观点就是极限。要想学好微积分,透彻地明白极限的观点和思维方法。

首先,简朴说一下极限的生长配景。萌芽在17世纪之前,数学生长属于常量数学时期或者初等数学阶段,几何与代数的生长相对独立,这段时间生长的数学被大量用于初等、中等教育。然而在初等数学时期,人们对运动和无限,存在着思维的障碍,好比芝诺悖论,好比无限大、无穷大或无限靠近。

阿基米德曾使用正多边形去迫近圆,然后求得圆周率。从直观上来讲,正多边形无论外切,还是内接,随着边数的增加,其面积和边长都可以无限的靠近。可是这个无限靠近是缺乏数学形貌和论证的,科研可以始于直觉思维,但落脚必须要严谨,正因此,这种直觉的“极限”方法很难迁移、用于其他地方。

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直到数学生长到剖析几何,人们有了变量的思维,代数和几何获得统一,对运动及其轨迹问题有了数学函数或方程的形貌,划分促使牛顿和莱布尼茨在运动和几何的角度,引入了微积分。自此又经由200多年,直到柯西等人将分析严密完备化。要学好高等数学或微积分,就是要学好、吃透“极限”的观点,必须要有这种思维的转换,这种转换是造成学习难题的最大障碍。

想想数学从常量数学到变量数学生长跨越1000余年,经典数学分析的严密化也花费几代数学家几百年时间,而你要想通过一年半载吃透,没点难度的话,也说不外去呀!所以,学习的心态、态度要摆正,遇到难题大可不必沮丧,除非你也是个天才。充满“极限”的微积分微积分中到处充满着辩证的矛盾:常量与变量、收敛与发散、有限与无限、近似与准确、一连与中断、微分与积分等,而所有的这些观点无不与“极限”相关。

极限首先从离散的数列开始入手讨论,界说数列极限,数列是收敛还是发散,收敛数列的性质,收敛准则等等;再讨论函数的极限,从界说入手,迁移了数列极限的思路,讨论了函数极限的性质等,数列与函数通过海涅原则获得毗连;又由于一连函数的界说域可以是实数集,而数列可以看成是界说在正整数集上的函数,由于这种差异,函数引入了一连和一致一连,依然是通过极限来界说,然后给出了一连函数的有界、零点或介值、最值的性质;为进一步研究函数的性质,继续通过极限界说了函数的导数和微分,引入了求导规则和微分中值定理,用于讨论函数的单调性、极值或最值、凸性等问题,还讨论了函数可导与一连的关系;依然是辩证法的使用,思量函数微分的逆运算,引入了不定积分,先容了不定积分的盘算方法和几类可积函数;最后通过极限界说了定积分,然后先容可积条件、性质,包罗定积分中值定理和盘算方法等内容,注意定积分接纳的界说是黎曼可积,另有一种稍有区别,但适用规模更广的勒贝格积分界说,如此时具有可数中断点的函数可积;联合积分区间的无限性或函数的无界性,又引入了无穷积分和瑕积分;无论是哪种积分,都是通过极限界说,微积分的学习历程中,充满极限,引入了许多观点,因此对极限的明白要深刻、透彻,证明极限的方法要尤其熟练掌握,这是最基本的基本功,可以使用等价代换、分步法、放大法来证明极限问题,熟练掌握和使用极限基础上引入的新观点。上面先容的一连、一致一连、微分和积分,全部是思量的一元函数,将一元函数迁移到多元函数,获得偏微分、重积分、含参变量的积分、多重积分等等内容。而级数作为一个相对独立的内容,先从数列级数入手,然后迁移函数项级数,讨论了收敛判别准则等内容,全部与极限精密相关。

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由此看来,吃不透“极限”的思路和观点,是绝无可能学好微积分的!除了上述内容,数学系的学生还要花鼎力大举气掌握:确保实数系完备性的基本定理,包罗其证明的思路和方法,都极具启发性。通过极限形貌了一连性、单调性、有界性、可导和可积性、收敛性等等问题,在明白和消化的历程中,除了明白这些观点,掌握性质定理、判别原则,还需要有举反例质疑的能力,好比:可导是一连的充实而非须要条件,一个反例就能获得肯定。固然了这个反例,刚刚接触微积分的同学很难给出,要知道,对到处一连但不行微的“病态函数”,数学史上也曾有过争议。在微积分的思想上,继续生长发生了新的数学分支:常微分方程论、偏微分方程论、微分几何、复变函数论、剖析数论等。

这种思想在数学生长中占据着主导职位,不仅仅是在数学的后续、高年级课程,纵然在其他的理工科的后续学习中,微积分都是不行缺少的工具,真可谓成也微积分,败也微积分。


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